Khalid Mahmud Bappy

Ramanujun: The Man who Knew Infinity

গণিত আমাদেরকে সবসময়ই নিজের সব ভিন্ন ভিন্ন দিকের ব্যখ্যা দিয়ে আশ্চর্য করে দিয়েছে। এমনই কি ১ থেকে ইনফিনিটি এর যোগফল পর্যন্ত বের করে একটি নতুন দিগন্তের সূচনা করেছে। প্রথমেই তোমাদের একটি প্রশ্ন করি, দেখি তোমরা কতজন ঠিকঠাক উত্তর দিতে পারো?

১+ ২ + ৩ + ৪+ ৫+ ৬+ ৭+ ..........................+ ইনফিনিটি পর্যন্ত যোগ করা হয় তাহলে কত পাওয়া যাবে সেটি চিন্তা করো তো? হয়তো অনেকেই ভাবছো এর উত্তর ইনফিনিটি বা ১০০০০.............. এমন কিছু কিন্তু আমি যদি বলি এটির উত্তর হবে ১/১২ কিন্তু তা আবার শুধু ১/১২ নয়, -১/১২ ! চমকে গেলে হয়তো এবং এটিই স্বাভাবিক। আপাত দৃষ্টিতে এটির উত্তর তোমাদের কাছে ভুল বা ভিত্তিহীন মনে হতে পারে কিন্তু এর ব্যখ্যা এবং এই যোগফল দিয়ে বিজ্ঞানীরা কি কি আবিষ্কার করেছেন তা দেখতে ব্লগটি শেষ পর্যন্ত পড়ে ফেলো।

আজ থেকে নয় দশক আগে এস রামানুজন নামের চেন্নাইয়ের এক ক্লার্ক ড. হার্ডীর সাহায্যেকারী হিসেবে ক্যাম্পব্রিজের ট্রিনিটি কলেজে যান এবং সেখানে তিনি তার ইনফিনিটি ম্যাথডটি উদ্ভাবন করেন। পরবর্তীতে তার এই ইনফিনিটি ম্যাথড দিয়ে আমাদের বর্তমানের মডিউলার ফাংশনগুলো উৎভাবিত হয় এবং তা দ্বারা আমরা এখন গ্রাভিটেশনাল ফোর্স, ডাইমেনশন, ব্লাকহোলের স্থায়িত্ব, টাইমট্রাভেলের সম্ভাবনা ইত্যাদি সম্পর্কিত তথ্য আহরণের ক্ষেত্রে সাহায্য পাচ্ছি।

এবার প্রমাণের পালা, আপাত দৃষ্টিতে দেখতে পাওয়া এক থেকে ইনফিনিটি এর যোগফল অসম্ভব -১/১২ কে কিভাবে গণিতে দৃষ্টিতে সত্য বলা সম্ভব তা ধাপে ধাপে দেখতে থাকিঃ

খন্ড ১ঃ

ধাপ ১ঃ

ধরি, A= ১- ১+১- ১+১- ১.......................... সিরিজঃ ১

এখানে, ১- ১+ ১- ১ এর একটি সিরিজ নিয়েছি আমরা।

ধাপ ২ঃ

আবার, ১- A= ১- (১- ১+১- ১+১- ১........................)

= ১- ১- ১+১- ১+১- ১........................ সিরিজঃ ২

এবার, ১ থেকে সিরিজ ১ কে বিয়োগ দিয়েছি। সকল কিছু গাণিতীক নিয়মেই চলছে, প্রতিটি লাইন ঠিক মত খেয়াল রাখতে থাকুন। দেখুন, কোথায় আসল পরিবর্তন আসছে।

ধাপ ৩ঃ

সিরিজ ২ = সিরিজ ১ [ ধাপ ২ ও ১ ]

বা, ১- A = A

বা, ১- A+ A = A+ A [ A যোজন করে ]

বা, ১= ২A

অতএব, A= ১/২ সিরিজঃ ৩

কিছুটা অবাক হয়ে গেলেন তো? হয়তো হয়েছেন। আমরা কিন্তু ধাপ ১ ও ২ এ দুটি সিরিজ সমান তা প্রমান করে এসেছিলাম এবং সেখানে থেকে শুধু সমান হয়ার শর্ত বসিয়ে সিরিজ ৩ বা A এর মান পেয়ে গেলাম যা ১/২। কিছুটা নতুন কিছু দেখতে পাওয়া শুরু করলেন তাহলে?

খন্ড ২ঃ

ধাপ ৪ঃ

ধরি, B= ১- ২+ ৩- ৪+ ৫- ৬........................ সিরিজঃ ৪

A- B=(১- ১+১- ১+১- ১..........................)- ( ১- ২+ ৩- ৪+ ৫- ৬........................)

A- B=(১- ১+১- ১+১- ১..........................)- ১+ ২- ৩+ ৪- ৫+ ৬........................

A- B=(১-১)+(- ১+২)+(১- ৩)+(- ১+ ৪)+(১- ৫)+(-১+ ৬)..........................

A- B=০+ ১- ২+ ৩- ৪+ ৫.......................... সিরিজঃ ৫

ধাপ ৫ঃ

সিরিজ ৪ = সিরিজ ৫

বা, A- B= B

বা, A= ২B

বা, ১/২= B

অতএব, B= ১/৪

ঠিক ধাপ ৩ এর অনুরূপ সব কাজগুলো করা হয়ে গেলো এবং আমরা এবার B এর মান পেলাম ১/৪।

খন্ড ৩ঃ

ধাপ ৬ঃ

C = ১+২+ ৩+ ৪+ ৫+ ৬……………. সিরিজঃ ৬

B-C = ( ১- ২+ ৩- ৪+ ৫- ৬........)-( ১+২+ ৩+ ৪+ ৫+ ৬…...)

B-C = ( ১- ২+ ৩- ৪+ ৫- ৬........)- ১- ২- ৩- ৪- ৫- ৬…...

B-C = (১-১) + (-২-২) + (৩-৩) + (-৪-৪) + (৫-৫) + (-৬-৬) ⋯

B-C = ০ -৪+০ -৮+০ -১২⋯

B-C = - ৪- ৮- ১২⋯

B-C = -৪(১+২+৩)⋯

ধাপ ৭ঃ

B-C = -৪(১+২+৩)⋯

B-C = -৪C

B = -৩C

১/৪ = -৩C

১/১২ = -C

C = -১/ ১২

সম্পূর্ণ খান্ড ২ এর অনুরূপ কাজ করে C এর মান পেলাম যেটি -১/১২।

প্রমান খন্ডঃ

যেহেতু,

C = ১+২+ ৩+ ৪+ ৫+ ৬……………. [ সিরিজঃ ৬ ]

C = -১/ ১২ [ধাপ ৭ ]

সুতরাং,

১+২+ ৩+ ৪+ ৫+ ৬……………. = -১/ ১২ ( প্রমাণিত )

আশা করি, সকলেই ১ থেকে ইনফিনিটির মান কিভাবে -১/১২ হয় তা বুঝতে পেরেছো এবং এখন থেকেই শুরু করে দাও তোমাদের এডভ্যাঞ্চার আর উদ্ভাবন করো ঠিক এমনই নতুন কিছু।